Система нерівностей - рішення. Система лінійних нерівностей

Нерівності і системи нерівностей - це одна з тем, яка проходиться в середній школі з алгебри. За рівнем складності вона є не найважчою, оскільки має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, вирішення систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще й з тим, що вчителі просто «» натаскують «» своїх учнів на цю тему. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і надалі із застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОГЕ та ЄДІ. У шкільних підручниках тема, присвячена нерівностям і системам нерівностей, розкрита дуже детально, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то найкраще вдатися саме до них. Ця стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівності

Якщо звернутися до наукової мови, то можна дати визначення поняттю «» система нерівностей «». Це така математична модель, яка являє собою кілька нерівностей. Від даної моделі, звичайно ж, потрібно рішення, і в його якості буде виступати загальна відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай в ньому так і пишуть, наприклад: «» Вирішіть систему нерівностей 4 x + 1 > 2 і 30 - x > 6... ""). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще дещо в чому розібратися.

Системи нерівності та системи рівнянь

У процесі вивчення нової теми дуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і швидше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в «» тіні «», не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже отриманих знань можуть переплітатися з новими. В результаті такого "накладення" "часто трапляються помилки.

Тому перед тим як приступити до розбору нашої теми, слід згадати про відмінності рівнянь і нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що являють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чогось одно (в математиці це слово позначається знаком «» = «»). Нерівність же являє собою таку модель, в якій одна величина або більше, або менше іншої, або містить в собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, у першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало з самої назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей одна від одної практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність полягає в тому, що в першому випадку використовуються рівності, а в другому застосовуються нерівності.

Види нерівності

Виділяють два види нерівностей: числові і з невідомою змінною. Перший тип - це значення (цифри), нерівні один одному, наприклад, 8 > 10. Другий - це нерівності, що містять у собі невідому змінну (позначається будь-якою буквою латинського алфавіту, найчастіше X). Ця змінна вимагає свого перебування. Залежно від того, скільки їх, у математичній моделі розрізняють нерівності з однією (складають систему нерівностей з однією змінною) або кількома змінними (складають систему нерівностей з кількома змінними).

Два останні види за ступенем своєї побудови і рівнем складності рішення поділяються на прості і складні. Прості називають ще лінійними нерівностями. Вони, своєю чергою, підрозділюються на суворі і нестрогі. Суворі конкретно «» кажуть «», що одна величина обов'язково повинна бути або менше, або більше, тому це в чистому вигляді нерівність. Можна навести кілька прикладів: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 тощо. Нестрогі включають в себе ще й рівність. Тобто одна величина може бути більшою або рівною іншій величині (знак «» ­ «) або меншою або рівною іншій величині (знак» «­»). Ще в лінійних нерівностях змінна не стоїть в корені, квадраті, не ділиться на що-небудь, через що вони називаються «» простими «». Складні включають невідомі змінні, знаходження яких потребує виконання більшої кількості математичних операцій. Вони часто знаходяться в квадраті, кубі або під корінням, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими тощо. Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися у вирішенні систем нерівностей, то ми поговоримо про систему лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати кілька слів про їхні властивості.

Властивості нерівності

До властивостей нерівності належать такі положення:

1. Знак нерівності змінюється на зворотний, якщо застосовується операція зі зміни слідування сторін (наприклад, якщо t₁ ^ t₂, то t₂ ^ t₁).
2. Обидві частини нерівності дозволяють додати до себе одне і те ж число (наприклад, якщо t₁ ^ t₂, то t₁ + число ^ t₂ + число).
3. Дві та більше нерівності, що мають знак одного напрямку, дозволяють складати їх ліві та праві частини (наприклад, якщо t _{T3. T4}, то t1 + t₃.
4. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне і те ж позитивне число (наприклад, якщо _t1-t2 і число-0, то число· t₁ ­ число· t₂).
5. Дві і більше нерівності, які мають позитивні члени і знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t _{T2. T3. T4. T1. T2. T3. T4. T1}· t_{3. T2· t4}).
6. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне і те ж негативне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо _t1-t2 і число-0, то число· _{t1-число} t₂).
7. Всі нерівності мають властивість транзитивності (наприклад, якщо _t1-t2 і _t2-t3, то _t1-t3).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що відноситься до нерівностей, можна приступити безпосередньо до розгляду правил вирішення їх систем.

Вирішення систем нерівностей. Загальні відомості. Способи вирішення

Як вже говорилося вище, рішенням виступають значення змінної, що підходять до всіх нерівностей даної системи. Вирішення систем нерівностей - це здійснення математичних дій, які в підсумку призводять до вирішення всієї системи або доводять, що у неї рішень немає. У такому випадку кажуть, що змінна відноситься до порожньої числової безлічі (записується так: літера, що позначає змінну ∈ (знак «» належить «), (знак» «порожня безліч»), наприклад, x ∈ ^ (читається так: "Змінна" "ікс" "належить порожній безлічі" "). Виділяють кілька способів вирішення систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони належать до тих математичних моделей, які мають кілька невідомих змінних. У випадку, коли є тільки одна, підійде спосіб інтервалів.

Графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з кількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки даному методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це пояснюється тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і приступити до подальших дій з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликого розмаїття. Однак цей метод деякі недолюблюють через те, що доводиться відриватися від завдання і перемикати свою розумову діяльність на малювання. Тим не менш, це дуже дієвий спосіб.

Щоб розв'язати систему нерівності за допомогою графічного способу, необхідно перенести всі члени кожної нерівності в їх ліву частину. Знаки зміняться на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожну нерівність окремо. У підсумку з нерівностей отримаються функції. Після цього можна діставати олівець і лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Все безліч чисел, яке опиниться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

Алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з двома невідомими змінними. Також нерівності повинні мати однаковий знак нерівності (тобто зобов'язані містити або тільки знак «» більше «», або тільки знак «» менше «» тощо) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб до того ж і більш складний. Він застосовується у двох етапах.

Перший включає себе дії з позбавлення від однієї з невідомих змінних. Спочатку потрібно її вибрати, потім перевірити на наявність чисел перед цією змінною. Якщо їх немає (тоді змінна буде виглядати, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вид змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб у кожній нерівності число перед обраною змінною було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множник, наприклад, якщо в першій нерівності записано 3y, а в другому 5y, то необхідно всі члени першої нерівності помножити на 5, а другого - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно.

Другий етап рішення. Необхідно ліву частину кожної нерівності перенести в їх праві частини зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: позбавлення від обраної змінної (по-іншому це називається «» скорочення «») під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яку необхідно вирішити. Після цього слід виконати те ж саме, тільки з іншою невідомою змінною. Отримані результати і будуть рішенням системи.

Спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей за наявності можливості ввести нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна в одному члені нерівності зведена в четвертий ступінь, а в іншому члені має квадрат. Таким чином, даний метод спрямований на зниження ступеня нерівностей в системі. Нерівність зразка х⁴ - х² - 1 в 0 цей спосіб вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х²" ", далі модель переписують у новому вигляді. У нашому випадку вийде t² - t - 1-0. Це нерівність потрібно вирішити методом інтервалів (про нього трохи пізніше), потім назад повернутися до змінної X, потім виконати ту ж саму з іншою нерівністю. Отримані відповіді будуть рішенням системи.

Метод інтервалів

Це найпростіший спосіб вирішення систем нерівностей, і водночас він є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числовій прямій, яка малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, знаходиться рішення системи. Щоб використовувати метод інтервалів, необхідно виконати такі кроки:

1. Всі члени кожної нерівності переносяться в ліву частину зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).
2. Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.
3. Знаходяться перетини нерівностей на числовій прямій. Всі числа, що знаходяться на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використовувати

Очевидно той, який здається найбільш легким і зручним, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати або за допомогою графіка, або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або не використовуються взагалі, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовуються для вирішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків та інтервалів. Вони привносять наочність, яка не може не сприяти ефективному і швидкому проведенню математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми по алгебрі, природно, можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний уяснити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою за рішенням типових завдань. У нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Вирішіть систему нерівностей 3 x + 1 ^ 0 і 2 x - 1 > 3" ". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей і практика допомагають у розумінні будь-якої складної теми.

Рішебнік

А ще дуже добре підійде решебник, тільки не для списування домашніх завдань, а для самопомочі. У них можна знайти системи нерівностей з рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався з поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

Висновки

Алгебра - це один з найскладніших предметів у школі. Ну що ж тут вдіяти? Математика завжди була такою: комусь вона дається легко, а комусь з утрудненням. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програма побудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж, треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них були згадані вище.