Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього методу в тому, що, як видно з назви, поступово висловлюючи з початкового наближення наступні, отримують все більш уточнені результати. Цей метод використовується для пошуку значення змінної у визначеній функції, а також при вирішенні систем рівнянь, як лінійних, так і нелінійних.
Розглянемо, як цей метод реалізується при вирішенні СЛАУ. Метод простої ітерації має наступний алгоритм:
1. Перевірка виконання умов схожості у вихідній матриці. Теорема про схожість: якщо вихідна матриця системи має діагональне переважання (тобто, в кожному рядку елементи головної діагоналі повинні бути більше за додатком, ніж сума елементів побічних діагоналів за додатком), то метод простих ітерацій - подібний.
2. Матриця вихідної системи не завжди має діагональне переважання. У таких випадках систему можна перетворити. Рівняння, що задовольняють умову схожості, залишають недоторканими, а з незадоволеними складають лінійні комбінації, тобто множать, віднімають, складають рівняння між собою до отримання потрібного результату.
Якщо в отриманій системі на головній діагоналі знаходяться незручні коефіцієнти, то до обох частин такого рівняння додають додані види ci * xi, знаки яких повинні збігатися зі знаками діагональних елементів.
3. Перетворення отриманої системи до нормального вигляду:
x-=β-+α*x-
Це можна зробити безліччю способів, наприклад, так: з першого рівняння виразити х1 через інші невідомі, з другого - x, з третього - 3 тощо. При цьому використовуємо формули:
αij= -(aij / aii)
i = bi/a
Слід знову переконатися, що отримана система нормального виду відповідає умові схожості:
∑ (j = 1) |αij|≤ 1, при цьому i = 1,2,... n
4. Починаємо застосовувати, власне, сам метод послідовних наближень.
x (0) - початкове наближення, висловимо через нього х (1), далі через х (1) висловимо х (2). Загальна формула а матричному вигляді виглядає так:
x(n)= β-+α*x(n-1)
Обчислюємо, поки не досягнемо необхідної точності:
max |xi(k)-xi(k+1) ≤ ε
Отже, давайте розберемо на практиці метод простої ітерації. Приклад:
Вирішити СЛАУ:
4, 5x1-1.7x2 + 3 .5x3 = 2
3 .1x1 + 2 .3x2-1.1x3 = 1
1 .8x1 + 2 .5x2 + 4 .7x3 = 4 з точністю ^ = 10-3
Подивимося, чи переважають за модулем діагональні елементи.
Ми бачимо, що умову схожості задовольняє лише третє рівняння. Перше і друге перетворюємо, до першого рівняння додамо друге:
7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
З третього віднімемо перше:
-2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
Ми перетворили вихідну систему на рівноцінну:
7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
Тепер приведемо систему до нормального вигляду:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Перевіряємо схожість ітераційного процесу:
0.0789 + 0.3158 = 0,3947 ^ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ст.110.383
+ 0.5319 = 0.9149. 1, тобто умова виконується.
0,3947Почате
наближення х (0) = 0,4762
0,8511
Подставляємо дані значення у рівняння вигляду, отримуємо такі значення:
0,08835
x(1)= 0,486793
0,446639
Підставляємо нові значення, отримуємо:
0,215243
x(2)= 0,405396
0,558336
Продовжуємо обчислення до того моменту, поки не наблизимося до значень, що задовольняють задану умову.
0,18813
x(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
x(8) = 0,44164
0,544428
Перевіримо правильність отриманих результатів:
4, 0,1880 -1.7*0,441+3. 0,544=2,0003
3.1*0,1880+2.3*0,441-1.1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2. 0,441+4.7*0,544=3,9977
Результати, отримані при підстановці знайдених значень у вихідні рівняння, повністю задовольняють умови рівняння.
Як ми бачимо, метод простої ітерації дає досить точні результати, однак для вирішення цього рівняння нам довелося витратити багато часу і виконати громіздкі обчислення.
