Як вирішувати складні приклади зі ступенями?
Такі приклади зустрічаються, в основному, в завданні «S1» ДПА з алгебри. Щодо ЄДІ не можу сказати, не дивився, але і там повинні бути присутніми. Давайте спробуємо розібрати один такий приклад: у числителі 100 ^ n, у знаменнику 2 ^ 2n-1 * 5 ^ 2n-2.
Інструкція
Рівень складності: Складно
1 крок
Тут найголовніше - правильно скоротити дріб, керуючись властивостями ступенів. Відповідь, як правило, проста. Ніяких особливих обчислень робити не треба.
Отже, давайте розкладати 100 ^ n. У знаменнику у нас 2 і 5, отже, нам саме на ці числа і потрібно розкладати сотню. Дивіться. Сотня - це 20 і 5. 5 ми залишаємо без змін, а ось двадцять можна розкласти на 4 і 5. Отримуємо: 100=4*5*5. 4 ми також можемо розкласти на 2 і 2. Разом: 100=2*2*5*5. Сотня у нас в ступені n. Коли перемножимо двійки з п'ятірками, нам залишиться звести число в цей ступінь. Тобто: 100^n = (2*2*5*5)^n. Цей етап зрозумілий?
2 крок
Якщо зрозуміли, рухаємося далі. Що таке 2 * 2? Це 2 в квадраті, тобто 2 ^ 2. Теж саме і з 5. Тепер увага. Нам потрібно і двійку і п'ятірку звести в однакову ступінь, у 2. Для того, щоб твір звести в ступінь, потрібно кожен множник звести в цей ступінь. 100^n = (2*2*5*5)^n = (2*5)^2n = 2^2n*5^2n. Тут все зрозуміло?
3 крок
При поділі ступеня на ступінь з однаковими підставами (це 5 і 2), підстави залишаються, а показники (самі ступені 2n) віднімаються. Ми отримуємо ось чого:
2^2n – 2^2n-1. Віднімаємо ступені (не плутайтеся зі знаками/- перед дужками - якщо плюс, знаки не змінюємо, якщо мінус - всі знаки міняємо на протилежні, а у нас якраз мінус): 2n – (2n-1) = 2n-2n1. Віднімаємо і залишається у нас в ступені 1. А два в першій мірі, це два. Тепер з п'ятіркою:
5^2n-5^2n-2.
2n-(2n-2) = 2n – 2n + 2 = 2
5^2=25
У нас вийшло 2 * 25 = 50.
