Як вирішити завдання G26 ДПА з математики?
G26 - завдання з другої частини іспиту. Зрозуміло, при вирішенні такого роду олімпіадних завдань використовуються теореми і властивості, які не проходяться за шкільною програмою. У цьому і складність.
Умова завдання: біссектриси бокових кутів А і Б при боковій стороні АБ трапеції АБСД перетинаються в точці Г, біссектриси кутів С і Д при бічній стороні СД перетинаються в точці Ф. Знайдіть відрізок ГФ, якщо підстави трапеції рівні 5 і 10, бокові сторони рівні 3 і 6.
Інструкція
Рівень складності: Складно
1 крок
Отже, нам необхідно знайти відрізок укладений між точками перетину біссектріс кутів при бічних сторонах трапеції. Вирішуємо.
2 крок
За властивістю, біссектриси кутів при боковій стороні трапеції перетинаються під прямим кутом. Отже, кути Г і Ф дорівнюють 90 градусам.
За властивістю, біссектриси кутів при боковій стороні трапеції перетинаються на середній лінії.
Отже, відрізок ГФ лежить на середній лінії.
3 крок
За визначенням, середня лінія трапеції - це відрізок, що з'єднує середини її бокових сторін. Середня лінія дорівнює напівсуммі підстав.
Проведемо середню лінію в трапеції АБСД, позначивши її точками Н на стороні АБ і К на боці СД. Оскільки основи дорівнюють 5 і 10, середня лінія дорівнює (5 + 10 )/2 = 7,5.
4 крок
З перших двох властивостей випливає, що відрізки ГН і ФК виходять з прямокутних вершин прямокутних трикутників АГБ і ДФС відповідно і закінчуються на серединах їх гіпотенуз.
Пряма, проведена з вершини трикутника до середини протилежного боку, називається медіаною.
За властивістю, медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини його прямого кута дорівнює половині гіпотенузи.
Отже, ГН = 3/2 = 1,5; ФК = 6/2 = 3.
Тоді відрізок ГФ = 7,5-3-1.5 = 3
Відповідь: ГФ = 3.
Завдання вирішене.
