Комбінаторне завдання. Найпростіші комбінаторні завдання. Комбінаторні завдання: приклади

Комбінаторне завдання. Найпростіші комбінаторні завдання. Комбінаторні завдання: приклади

Викладачі математики знайомлять своїх учнів з поняттям «комбінаторне завдання» ще в п'ятому класі. Це необхідно для того, щоб вони зуміли надалі працювати з більш складними завданнями. Під комбінаторністю завдання можна розуміти можливість вирішити її за допомогою перебору елементів кінцевої безлічі.


Головною ознакою завдань такого порядку є питання до них, яке звучить як «Скільки варіантів?» або «Скількома способами?» Вирішення комбінаторних завдань безпосередньо залежить від того, чи зрозумів вирішальний їх сенс, чи зумів він правильно представити дію або процес, які були описані в завданні.


Як вирішити комбінаторну задачу?

Важливо коректно визначити тип всіх наявних у розглянутому завданні з'єднань, але при цьому необхідно провести перевірку щодо того, чи є в ній повтори елементів, чи змінюються самі елементи, чи відіграє велику роль їх порядок, а також щодо деяких інших факторів.

Комбінаторне завдання може мати цілий ряд обмежень, які можуть бути накладені на з'єднання. У цьому випадку знадобиться прорахувати повністю її рішення і перевірити, чи чинять ці обмеження якийсь вплив на з'єднання всіх елементів. Якщо вплив дійсно є, необхідно перевірити, який саме.

З чого почати?

Для початку необхідно навчитися вирішувати найпростіші комбінаторні завдання. Оволодіння простим матеріалом дозволить навчитися розбиратися в більш складних завданнях. Рекомендується спочатку почати вирішувати завдання з обмеженнями, які не враховуються при розгляді більш простого варіанту.

Також рекомендується спробувати вирішувати спочатку ті завдання, в яких потрібно розглядати меншу кількість загальних елементів. Таким чином ви зможете зрозуміти принцип створення вибірок і навчитися надалі самостійно створювати їх. Якщо завдання, для якого потрібно використовувати комбінаторику, складається з комбінації декількох більш простих, рекомендується вирішувати її по частинах.

Вирішення комбінаторних завдань

Такі завдання можуть здатися простими у вирішенні, проте комбінаторика досить складна для освоєння, деякі з них не мають рішення вже протягом останніх сотень років. Одним з найвідоміших завдань є визначення кількості магічних квадратів спеціального порядку, коли число n більше 4.

Комбінаторне завдання тісно пов'язане з теорією ймовірності, яка з'явилася ще в середньовічні часи. Ймовірність походження тієї чи іншої події можна обчислити тільки з використанням комбінаторики, в даному випадку знадобиться чергувати всі фактори місцями, щоб отримати оптимальне рішення.


Вирішення завдань

Комбінаторні завдання з рішенням використовуються для навчання учнів і студентів роботі з цим матеріалом. Якщо ж говорити в цілому, вони повинні викликати у людини інтерес і бажання знайти спільне рішення. Крім математичних розрахунків, необхідно застосовувати розумову напругу і використовувати здогадку.

У процесі вирішення поставлених завдань дитина зможе розвинути у себе математичну уяву та комбінаторні здібності, це може серйозно стати в нагоді їй надалі. Поступово рівень складності вирішуваних завдань необхідно підвищувати, щоб не забувати наявні знання і додавати до них нові.

Спосіб 1. Перебір

Методи вирішення комбінаторних завдань дуже сильно відрізняються один від одного, але всі вони можуть бути використані учнем для отримання відповіді. Одним з найпростіших, але в той же час і найдовших способів є перебір. При ньому необхідно просто перебрати всі можливі варіанти рішення, не складаючи будь-яких схем і таблиць.

Як правило, питання в такому завданні пов'язане з можливими варіантами походження тієї чи іншої події, наприклад: які числа можна скласти за допомогою цифр 2, 4, 8, 9? Шляхом перебору всіх варіантів складається відповідь, що складається з можливих комбінацій. Такий спосіб чудово підходить, якщо кількість можливих варіантів порівняно невелика.

Спосіб 2. Дерево з варіантів

Деякі комбінаторні завдання можна вирішити, тільки складаючи схеми, в яких буде детально вказано інформацію про кожен елемент. Складання дерева можливих варіантів - ще один спосіб знаходження відповіді. Він підходить для вирішення не надто складних завдань, в яких є додаткова умова.

Приклад такого завдання:

  • Які п'ятизначні числа можна скласти з цифр 0, 1, 7, 8? Для вирішення знадобиться побудувати дерево з усіх можливих комбінацій, при цьому є додаткова умова - число не може починатися з нуля. Таким чином, відповідь складатиметься з усіх чисел, які будуть починатися з 1, 7 або 8.

Спосіб 3. Формування таблиць

Розв'язання комбінаторних задач можна виконати і за допомогою таблиць. Вони схожі з деревом можливих варіантів, оскільки пропонують наочне вирішення ситуації. Для знаходження правильної відповіді потрібно сформувати таблицю, причому вона буде дзеркальною: горизонтальні та вертикальні умови будуть однаковими.


Можливі варіанти відповідей будуть виходити на перетині стовпчиків і рядків. При цьому відповіді на перетині стовпчика і рядки з однаковими даними виходити не будуть, ці перетини необхідно особливо позначити, щоб не заплутатися при складанні підсумкової відповіді. Цей спосіб не надто часто вибирається учнями, багато хто віддає перевагу дереву з варіантами.

Спосіб 4. Множення

Є ще один спосіб, за допомогою якого можна вирішити комбінаторні завдання, - правило множення. Він чудово підходить у тому випадку, коли за умовою не потрібно перераховувати всі можливі варіанти рішення, необхідно просто знайти їх максимальну кількість. Цей метод єдиний у своєму роді, ним користуються дуже часто, коли тільки починають вирішувати комбінаторні завдання.

Приклад такого завдання може виглядати наступним чином:

  • 6 осіб очікують іспиту в коридорі. Скільки способів можна використовувати для розташування їх у загальному списку? Для отримання відповіді необхідно уточнити, скільки їх них може бути на першому місці, скільки на другому, на третьому і т. д. Відповіддю буде число 720.

Комбінаторика та її види

Комбінаторне завдання не є лише шкільним матеріалом, студенти вишів також вивчають його. У науці існує кілька видів комбінаторики, і у кожного з них є власна місія. Перелічувальна комбінаторика повинна розглядати завдання на перерахування і підрахунок можливих конфігурацій з додатковими умовами.

Структурна комбінаторика є компонентом вузівської програми, в ній вивчаються теорії матроїдів і графів. Екстремальна комбінаторика також має відношення до вузівського матеріалу, і тут є свої індивідуальні обмеження. Ще один розділ - теорія Рамсея, що займається вивченням структур у випадкових варіаціях елементів. Існує і лінгвістична комбінаторика, яка займається розглядом питання про поєднуваність тих чи інших елементів між собою.


Методика викладання комбінаторних завдань

Згідно з навчальними планами, вік учнів, який розрахований на первинне знайомство з даним матеріалом і на вирішення комбінаторних завдань, - 5 клас. Саме там вперше дана тема пропонується на розгляд учням, вони знайомляться з явищем комбінаторності і намагаються вирішувати поставлені перед ними завдання. При цьому дуже важливо, щоб при постановці комбінаторного завдання використовувався метод, коли діти самі займаються пошуком відповідей на питання.

Крім усього іншого, після вивчення зазначеної теми буде набагато легше вводити поняття факторіалу і використовувати його при вирішенні рівнянь, завдань тощо. Таким чином, комбінаторність відіграє важливу роль при отриманні подальшої освіти.

Комбінаторні завдання: навіщо вони потрібні

Якщо ви знаєте, що таке комбінаторні завдання, то ніяких труднощів з їх вирішенням ви відчувати не будете. Методика їх вирішення може стати в нагоді при необхідності складання розкладів, графіків роботи, а також складних математичних обчислень, для виконання яких не підійдуть електронні пристрої.

У школах з поглибленим вивченням математики та інформатики комбінаторні завдання вивчаються додатково, для цього складаються спецкурси, методичні посібники та завдання. Як правило, кілька завдань подібного типу можуть входити до складу Єдиного Державного Іспиту з математики, зазвичай їх «ховають» у частині С.

Як вирішити комбінаторну задачу швидко

Дуже важливо розгледіти комбінаторне завдання швидко, оскільки воно може мати завуальоване формулювання, це особливо важливо при здачі ЄДІ, де кожна хвилина на рахунку. Випишіть окремо інформацію, яку ви бачите в тексті завдання, на листок, а потім спробуйте проаналізувати її з точки зору чотирьох відомих вам способів.


Якщо ви можете укласти інформацію в таблицю або іншу освіту, пробуйте її вирішувати. Якщо класифікувати її ви не можете, в цьому випадку найкраще залишити її ненадовго і перейти до вирішення іншого завдання, щоб не втрачати дорогоцінний час. Цієї ситуації можна уникнути, якщо заздалегідь вирішувати деяку кількість завдань цього типу.

Де знайти приклади

Єдине, що допоможе вам навчитися вирішувати комбінаторні завдання, - приклади. Їх ви можете знайти в спеціальних математичних збірниках, які продаються в магазинах освітньої літератури. Однак там можна знайти інформацію лише для студентів вишу, школярам доведеться шукати завдання додатково, як правило, для них завдання придумуються іншими вчителями.

Викладачі вишів вважають, що студентам необхідно тренуватися і постійно пропонують їм додаткову навчальну літературу. Одним з кращих збірників вважається «Методи дискретного аналізу у вирішенні комбінаторних завдань», написаний в 1977 році і випускається неодноразово провідними видавництвами країни. Саме там можна знайти завдання, які були актуальні на той момент і залишаються актуальними сьогодні.

Що робити, якщо потрібно скласти комбінаторне завдання

Найчастіше комбінаторні завдання необхідно складати викладачам, які зобов'язані навчити студентів мислити нешаблонно. Тут все буде залежати від творчого потенціалу укладача. Рекомендується звернути увагу на вже існуючі збірники і спробувати скласти завдання так, щоб вона поєднувала в собі відразу кілька способів її вирішення і мала відмінні від книжкових дані.

Викладачі ВНЗ у цьому плані набагато вільніші за шкільні, вони часто дають своїм студентам завдання самим придумати комбінаторні завдання з докладними методами вирішення та поясненнями. Якщо ви не ставитеся ні до тих, ні до інших, можна попросити допомоги у тих, хто дійсно розбирається в питанні, а також найняти приватного репетитора. Однієї академічної години достатньо для того, щоб скласти кілька подібних завдань.


Комбінаторика - наука майбутнього

Багато фахівців у галузі математики та фізики вважають, що саме комбінаторне завдання може стати поштовхом у розвитку всіх технічних наук. Достатньо лише нестандартно підійти до вирішення тих чи інших проблем, і тоді можна буде відповісти на питання, які вже кілька століть не дають спокою вченим. Деякі з них всерйоз стверджують, що комбінаторика є підмогою для всіх сучасних наук, особливо космонавтики. Набагато простіше буде вираховувати траєкторії польоту кораблів за допомогою комбінаторних завдань, також вони дозволять визначити точне знаходження тих чи інших небесних світил.

Реалізація нестандартного підходу вже давно почалася в азіатських країнах, там учні навіть елементарні завдання з множення, віднімання, складання та ділення вирішують, використовуючи комбінаторні методи. На подив багатьох європейських вчених, методика дійсно працює. Школи Європи поки що тільки почали переймати досвід своїх колег. Коли саме комбінаторика стане одним з основних розділів математики, припустити складно. Зараз наука вивчається провідними вченими планети, які прагнуть популяризувати її.

Image

Publish modules to the "offcanvas" position.