Як розкласти квадратний тричлен на множники
Для багатьох учнів розкладання квадратного тричлена і є проблемою. У минулому навчальному році я допомогла розібратися в цьому кільком своїм однокласникам і в цій інструкції я поясню на прикладі, як розкласти квадратний тричлен на множники.
Інструкція
Рівень складності: Непросто
Що вам знадобиться:
- папір
- ручка/олівець тощо =)
- мізки
1 крок
Квадратним трьохчленом називається багаточлен виду ax ^ 2 + bx + c, де х - змінна, a, b і с - деякі числа, причому а не дорівнює нулю.
Власне, перше що нам потрібно знати, щоб розкласти нещасливий тричлен на множники - теорема. Виглядає вона наступним чином: «Якщо х1 і х2 - коріння квадратного тричлена ax ^ 2 + bx + c, то ax ^ 2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2)». Звичайно, існує і доказ цієї теореми, але він вимагає деяких теоретичних знань (при винесенні за дужки в багаточлені ax 2 + bx + c множника а отримуємо ax 2 + bx + c = a (x 2 + (b/a) x + c/a). За теоремом Вієтта x1 + x2 = - (b/a), х1 * х2 = с/а, отже b/a = - (x1 + x2), с/а = х1 * х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значить, ax ^ 2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2). Іноді вчителі змушують вчити доказ, але якщо він не затребуваний, раджу просто запам'ятати підсумкову формулу.
2 крок
Візьмемо як приклад тричлен 3x ^ 2-24x + 21. Перше, що нам потрібно зробити - прирівняти тричлен до нуля: 3x^2-24x+21=0. Коріння отриманого квадратного рівняння і буде корінням тричлена, відповідно.
3 крок
Вирішимо рівняння 3x ^ 2-24x + 21 = 0. a=3, b=-24, c=21. Отже, вирішуємо. Хто не знає як вирішувати квадратні рівняння, дивіться в мою інструкцію з 2-ма способами їх вирішення на прикладі цього ж рівняння. Вийшло коріння х1 = 7, х2 = 1.
4 крок
Тепер, коли у нас є коріння тричлена, можна сміливо підставляти їх у формулу =) ax ^ 2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2)
отримуємо:3x ^ 2-24x + 21 = 3 (х-7) (х-1)
Можна позбутися члена, внісши його в дужки: 3x ^ 2-24x + 21 = (х-7) (х * 3-1 * 3)
у підсумку отримуємо: 3x ^ 2-24x + 21 = (х-7) (3х-3). Примітка: кожен з отриманих множників ((х-7), (3х-3) є багаточленами першого ступеня. Ось і все розкладання =) Якщо сумніваєтеся в отриманій відповіді, завжди можна її перевірити, перемноживши дужки.
5 крок
Перевірка рішення. 3x ^ 2-24x + 21 = 3 (х-7) (х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Тепер ми точно знаємо, що наше рішення вірне! Сподіваюся, моя інструкція комусь допоможе =) Удачі в навчанні!
Поради та попередження:
- У нашому випадку в рівнянні D > 0 і ми отримали по 2 корені. Якщо б було D < 0, то рівняння, як і багаточлен, відповідно, коріння б не мало.
- Якщо квадратний тричлен не має коріння, його не можна розкласти на множники, що є багаточленами першого ступеня.
