Як дослідити функцію і побудувати її графік
Побудова графіка функції є невід'ємною частиною навчання як у школі, так і у ВНЗ, іноді застосовується і на роботі. Часто від цього вміння залежить ваша оцінка з математики або навіть подальша доля в університеті. Так от сьогодні ми і спробуємо навчитися цій навичці.
Інструкція
Рівень складності: Нескладно
1 крок
Отже, почнемо.
Щоб визначити функцію рівняння ілюстрації ліворуч від кроку. Всі обчислення також буде показано на ілюстраціях відповідних кроків.
Насамперед знаходимо область визначення. Областю визначення називають безліч всіх тих значень змінною x, при яких алгебраїчний вираз праворуч має сенс.
Таким чином, область визначення нашої функції це об'єднання проміжків
1 - від мінус нескінченності до -1 (не включаючи саме число -1)
2 - від -1 до плюс нескінченності (також, не включаючи -1)
2 крок
Тепер другим етапом ми повинні знайти всі асимптоти функції.
Для того, щоб знайти всі вертикальні асимптоти, ми повинні застосувати вже більш поглиблені знання математики. Отже, для цього необхідно знайти межі ліворуч і праворуч функції в точках, які не входять до області визначення. У нашому випадку це точка -1. Якщо обидві межі рівні нескінченності, тоді функція x = c, де з цієї точки, в якій шукали межу, є вертикальною асимптотою. Інакше вертикальних асимптот не існує.
Тепер знайдемо всі похилі асимптоти. Кожна похила асимптота вказується загальним рівнянням y = kx + b. Для того щоб знайти k ми обчислюємо межу виразу f (x )\x при х прагнутимемо до плюс, а потім і до мінус нескінченності. Якщо отримуємо конкретне число, то це і є шукане k, інакше похилих асимптот немає. Якщо k це конкретне число, тоді шукаємо b. Для цього знаходимо межу виразу (f (x) - kx), де f (x) - це вихідна функція.
Більш детальну інформацію про те, як знайти ці межі, ви знайдете на просторах інтернету. Зараз наша мета саме зрозуміти, як досліджувати функцію. Тому переходимо до наступного етапу.
3 крок
Наступним етапом визначаємо чіткість\непарність функції. Для цього Замість х підставляємо в рівняння -х.
Якщо вираз не змінився під час підстановки, функція є чіткою. А значить, її графік симетричний відносно осі ординат Oy.
Якщо f (-x) = -f (x) тоді функція - непарна. А значить, її графік симетричний відносно початку координат.
Інакше функція є функцією загального вигляду.
Приклади:
y = x ^ 2 - чітка
y = x ^ 3 - непарна
4 крок
Тепер знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.
Для того, щоб знайти точки перетину графіка з віссю абсцис Ox. Для цього підставляємо в рівняння функції y = 0, вирішуючи це рівняння отримаємо шукану точку.
Для того, щоб знайти точки перетину графіка з віссю ординат Оу. Для цього підставляємо в рівняння функції х = 0, вирішуючи це рівняння отримаємо шукану точку.
5 крок
Знаходимо проміжки зростання\вбивання функції і точки максимуму, мінімуму.
Для цього знаходимо першу похідну функції. Далі знаходимо критичні точки, для цього прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо х. Так само критичною точкою є і значення х, при яких знаменник звертається в нуль. Будуємо вісь координат і відзначаємо на ній знайдені точки. Тепер наша вісь розбита на кілька проміжків. На кожному з них знаходимо знак похідної, тобто підставляємо з кожного проміжку будь-яку точку. Якщо при цьому значенні похідна більше нуля, тоді функція на відповідному проміжку зростає. І, навпаки, якщо при цьому значенні похідна менше нуля, тоді функція на відповідному проміжку вбиває.
Якщо в точці, позначеній на прямій, знак похідної змінюється з плюса на мінус, тоді це точка максимуму, якщо з мінуса на плюс, тоді точка мінімуму.
6 крок
Тепер знайдемо проміжки випуклості функції.
Для цього знайдемо другу похідну функції. Так само знайдемо і відзначимо критичні точки, як і в попередньому кроці. Знайдемо проміжки, де похідна більше нуля і де менше. Там, де друга похідна позитивна - функція випукла вниз, там, де менше - випукла вгору.
Точки, в яких знак другої похідної змінюється, називаються точкою перегину.
7 крок
Тепер, користуючись усіма даними, які ми отримали в ході дослідження, будуємо графік функції.
Поради та попередження:
- Якщо щось не зрозуміло, пишіть коментарі, спробуємо розібратися разом;
