При слові «нескінченність» у кожної людини виникають свої асоціації. Багато малюють у своїй уяві море, що йде за горизонт, а в інших перед очима з'являється картина безкрайнього зоряного неба. Зовсім по-іншому уявляють собі нескінченність математики, які звикли оперувати числами. Вони вже багато століть намагаються знайти найбільше, з необхідних для вимірювання фізичних величин. Одним з них є число Грема. Скільки нулів у ньому і для чого воно використовується, розповість ця стаття.
Нескінченно велике число
У математиці так називають таку змінну величину xn, якщо для будь-якого наперед вказаного додатного числа M можна вказати натуральне N таке, що для всіх номерів n, великих N, вірна нерівність |xn| > M. Однак жодне, наприклад, ціле число Z не можна вважати нескінченно великим, так як воно завжди буде менше величини (Z + 1).
Кілька слів про «» гігантів «»
Найбільшими числами, що мають фізичний сенс, прийнято вважати:
- 1080. Це число, яке прийнято називати квінквавігінтільйоном, прийнято для позначення приблизної кількості кварків і лептонів (найдрібніших частинок) Всесвіту.
- 1 Гугол. Таке число в десятковій системі обчислення записується як одиниця зі 100 нулями. Згідно з деякими математичними моделями, з часу великого вибуху, до вибуху масивної чорної діри має пройти від 1 до 1,5 гугола років, після чого наш всесвіт перейде в останню стадію свого існування, тобто можна вважати, що це число має якийсь фізичний сенс.
- 8,5 х 10185. Постійна Планка дорівнює 1,616199 x 10-35 м, тобто в десятковому записі виглядає як 0,00000000000000000000000000000616199 м. У 1 куб. дюймі налічується близько 1 гугола планківських довжин. Підраховано, що в усьому нашому всесвіті може поміститися близько 8,5 х 10185 планківських довжин.
- 277 232 917 – 1. Це найбільше з відомих простих чисел. Якщо його двійковий запис має досить компактний вигляд, то для того, щоб зобразити його в десятковій формі буде потрібно ні багато ні мало - 13 мільйонів знаків. Воно було знайдено в 2017-му році в рамках проекту з пошуку чисел Мерсенна. Якщо ентузіасти будуть продовжувати працювати в цьому напрямку, то при нинішньому рівні розвитку обчислювальної техніки, найближчим часом вони навряд чи зможуть знайти число Мерсенна на порядок більше, ніж 277 232 917 - 1, хоча такий щасливчик отримає 150 000 $ США.
- Гугоплекс. Тут все просто беремо 1 і дописуємо після неї нулі в кількості 1 гугола. Записати це число можна, як 10 ^ 10 ^ 100. У десятковій формі його неможливо зобразити, так як, якщо весь простір Всесвіту заповнити листками паперу, на кожному з яких були б написані 0 з розміром «вордовського» шрифту 10, то і в цьому випадку вийшла б лише половина всіх 0 після 1 для числа гуголплекс.
- 10^10^10^10^10^1.1. Це число, що показує кількість років, через які згідно теоремі Пуанкарі наш Всесвіт в результаті випадкових квантових коливань повернеться в стан близький до сьогоднішнього дня.
Як з'явилися числа Грема
У 1977 році відомий популяризатор науки Мартін Гарднер в журналі Scientific American опублікував замітку, що стосується доказу Грема однієї з проблем теорії Рамсе. У ній він назвав кордон, встановлений вченим, найбільшим числом, який коли-небудь використовували в серйозному математичному міркуванні.
Хто такий Рональд Льюїс Грем
Вчений, якому сьогодні вже за 80, народився в Каліфорнії. У 1962 році він отримав ступінь Ph.D в галузі математики в університеті Берклі. Протягом 37 років він працював в лабораторії Белла, а пізніше перейшов в АТ&Т Labs. Вчений активно співпрацював з одним з найбільших математиків 20-го століття Палом Ердешем і є лауреатом багатьох престижних премій. У науковій бібліографії Грема понад 320 наукових праць.
У середині 70-х років вченого зацікавила проблема, пов'язана з теорією Рамсея. При її доказі була визначена верхня межа рішення, що є дуже великим числом, згодом названим на честь Рональда Грема.
Проблема гіперкуба
Щоб зрозуміти суть числа Грема, потрібно спочатку розібратися з тим, як воно було отримано.
Вчений і його колега Брюс Ротшильд займалися вирішенням такого завдання:
- Є n-мірний гіперкуб. Всі пари його вершини з'єднують так, щоб вийшов повний граф з 2n вершинами. Кожне його ребро розфарбовують або в синій, або в червоний колір. Потрібно було знайти, яке найменше число вершин має бути у гіперкуба, щоб кожна така розмальовка містила повний одноколірний підграф з 4 вершинами, що лежать в одній площині.
Рішення
Грем і Ротшильд довели, що завдання має рішення N «, що задовольняє умову 6 ⩽ N» ⩽N де N - це точно певне, дуже велике число.
Нижня межа для N згодом була уточнена іншими вченими, які довели, що N має бути більше або дорівнює 13. Таким чином, вираз для найменшого числа вершин гіперкуба, що задовольняє умовам, представленим вище, отримав вигляд 13 ⩽ N"⩽ N.
Стрілочна нотація Кнута
Перед тим як дати визначення числа Грема, слід ознайомитися зі способом його символьного уявлення, так як ні десятковий, ні двійковий запис для цього абсолютно не придатні.
На даний момент для представлення цієї величини прийнято використовувати стрілочну нотацію Кнута. Згідно з нею:
ab = a "стрілка вгору" "b.
Для операції багаторазового зведення у ступінь було введено запис:
a "стрілка вгору" "" стрілка вгору "" b = аb = "" вежа, що складається з а в кількості b шт ".
А для пентації, тобто символьного позначення повторного зведення в ступінь попереднього оператора, Кнут використовував вже 3 стрілки.
Використовуючи такий варіант запису для числа Грема, маємо «» стрілочні «» послідовності, що вкладаються один в одного, в кількості 64 шт.
Масштаб
Своє відоме число, яке хвилює уяву і розширює межі людської свідомості, виводячи його за межі Всесвіту, Грем і його колеги отримали його в якості верхньої межі для числа N при доказі проблеми гіперкуба, представленої вище. Уявити наскільки великий його масштаб звичайній людині вкрай складно.
Питання про кількість знаків, або як іноді помилково говорять, нулів в числі Грема, цікавить практично всіх, хто вперше чує про цю величину.
Досить сказати, що маємо справу зі стрімко зростаючою послідовністю, яка складається з 64 членів. Навіть її перший член - неможливо уявити, так як він складається з n «» веж «», що складаються з 3-к. Вже її "нижній поверх" "з 3 трійок дорівнює 7 625 597 484 987, тобто перевершує 7 мільярдів, що й говорити про 64-й поверх (не член!). Таким чином, точно сказати, чому дорівнює число Грема, на даний момент неможливо, так як для його обчислення не вистачить об'єднаних потужностей всіх комп'ютерів, що існують на Землі на сьогоднішній день.
Рекорд побито
У процесі доведення теореми Краскала, число Грема було «скинуто з п'єдесталу». Вчений запропонував наступне завдання:
- Є нескінченна послідовність кінцевих дерев. Краскал довів завжди існує ділянка якогось графа, що є одночасно і частиною більшого графа і його точною копією. Це твердження не викликає ніяких сумнівів, так як очевидно, що в нескінченності завжди знайдеться точно повторювана комбінація.
Пізніше Харві Фрідман дещо звузив це завдання, розглянувши тільки такі ациклічні графи (дерева), що для конкретного з них з коефіцієнтом i є не більше ніж (i + k) вершин. Він вирішив з'ясувати, яким має бути число ациклічних графів, щоб при цьому способі їх завдання завжди можна було знайти таке піддерево, яке вкладалося б в інше дерево.
У результаті досліджень цього питання було з'ясовано, що N залежно від k зростає з величезною швидкістю. Зокрема, якщо k = 1 то N = 3. Однак при k = 2, N вже досягає 11. Найцікавіше починається, коли k = 3. У такому випадку N стрімко «» злітає «» і досягає величини, яка багаторазово перевершує число Грема. Щоб уявити наскільки вона велика, достатньо записати число, розраховане Рональдом Гремом у вигляді G64 (3). Тоді величина Фрідмана-Краскала (об. FinKraskal (3)), матиме порядок G (G (187196)). Іншими словами виходить мегавеличина, яка нескінченно більше неймовірно великого числа Грема. У той же час навіть воно в гігантську кількість разів буде менше нескінченності. Про це поняття має сенс поговорити детальніше.
Нескінченність
Тепер, коли ми пояснили, що таке число Грема на пальцях, слід розібратися з сенсом, який вкладався і вкладається в це філософське поняття. Адже «нескінченність» і «нескінченно велике число» в певному контексті можна вважати тотожними.
Найбільший внесок у вивчення цього питання зробив Арістотель. Великий мислитель давнини розділив нескінченність на потенційну й актуальну. Під останньою він мав на увазі реальність існування нескінченних речей.
На думку Арістотеля, джерелами уявлень про це фундаментальне поняття є:
- час;
- поділ величин;
- поняття кордону та існування чогось за його межами;
- невичерпність творчої природи;
- мислення, яке не має меж.
У сучасному трактуванні для нескінченності не можна вказати кількісний захід, так що пошуки найбільшого числа можна продовжувати вічно.
Ув'язнення
Чи можна вважати метафору «» Погляд у нескінченність «» і число Грема в деякому сенсі синонімами? Швидше, і та й ні. І те й інше неможливо уявити, навіть маючи найсильнішу уяву. Однак, як вже було сказано, воно не може вважатися «» самим, самим «». Інша справа, що на даний момент величини більше числа Грема не мають встановленого фізичного сенсу.
Крім того, воно не володіє такими властивостями нескінченного числа порожніх, як:
- ∞ + 1 = ∞;
- існує нескінченне число як непарних, так і парних чисел;
- ∞ - 1 = ∞;
- кількість непарних чисел становить рівно половину від усіх чисел;
- ∞ + ∞ = ∞;
- ∞/2 = ∞.
Підсумуємо: число Грема найбільше число в практиці математичного доказу, за версією Книги рекордів Гіннеса. Однак існують числа, які в рази більші від цієї величини.
Швидше за все, в майбутньому з'явиться потреба в ще більших «гігантах», особливо якщо людина вийде за межі нашої Сонячної системи або винаходить щось неймовірне на нинішньому рівні нашої свідомості.
