Приклади векторних величин

Фізика і математика не обходяться без поняття «векторна величина». Її необхідно знати і впізнавати, а також вміти з нею оперувати. Цьому обов'язково варто навчитися, щоб не плутатися і не допускати дурних помилок.

Як відрізнити скалярну величину від векторної?

Перша завжди має тільки одну характеристику. Це її числове значення. Більшість скалярних величин можуть приймати як позитивні, так і від'ємні значення. Їх прикладами може служити електричний заряд, робота або температура. Але є такі скаляри, які не можуть бути негативними, наприклад, довжина і маса.

Векторна величина, крім числової величини, яка завжди береться за модулем, характеризується ще й напрямком. Тому вона може бути зображена графічно, тобто у вигляді стрілки, довжина якої дорівнює модулю величини, спрямованої в певний бік.

При листі кожна векторна величина позначається знаком стрілки на буквою. Якщо йдеться про числове значення, то стрілка не пишеться або її беруть за додатком.

Які дії найчастіше виконуються з векторами?

Спочатку - порівняння. Вони можуть бути рівними чи ні. У першому випадку їх додатки однакові. Але це не єдина умова. У них повинні бути ще однакові або протилежні напрямки. У першому випадку їх слід називати рівними векторами. У другому вони виявляються протилежними. Якщо не виконується хоча б одна з зазначених умов, то вектори не рівні.

Потім йде додавання. Його можна зробити за двома правилами: трикутника або паралелограма. Перше наказує відкладати спочатку один вектор, потім від його кінця другий. Результатом складання буде той, який потрібно провести від початку першого до кінця другого.

Правило паралелограма можна використовувати, коли потрібно скласти векторні величини у фізиці. На відміну від першого правила, тут їх слід відкладати від однієї точки. Потім добудувати їх до паралелограма. Результатом дії слід вважати діагональ паралелограма, проведену з тієї ж точки.

Якщо векторна величина віднімається з іншої, вони знову відкладаються з однієї точки. Тільки результатом буде вектор, який збігається з тим, що відкладений від кінця другого до кінця першого.

Які вектори вивчають у фізиці?

Їх так само багато, як скалярів. Можна просто запам'ятати те, які векторні величини у фізиці існують. Або знати ознаки, за якими їх можна обчислити. Тим, хто віддає перевагу першому варіанту, стане в нагоді така таблиця. У ній наведено основні векторні фізичні величини.

Тепер трохи детальніше про деякі з цих величин.

Перша величина - швидкість

З неї варто почати наводити приклади векторних величин. Це обумовлено тим, що її вивчають серед перших.

Швидкість визначається як характеристика руху тіла в просторі. Нею задається числове значення і напрямок. Тому швидкість є векторною величиною. До того ж її прийнято розділяти на види. Перший є лінійною швидкістю. Її вводять під час розгляду прямолінійного рівномірного руху. При цьому вона виявляється рівною відношенню шляху, пройденого тілом, до часу руху.

Цю ж формулу допустимо використовувати при нерівномірному русі. Тільки тоді вона буде середньою. Причому інтервал часу, який необхідно вибирати, обов'язково повинен бути якомога менше. При прагненні проміжку часу до нуля значення швидкості вже є миттєвим.

Якщо розглядається довільний рух, то тут завжди швидкість - векторна величина. Адже її доводиться розкладати на складові, спрямовані вздовж кожного вектора, що спрямовує координатні прямі. До того ж визначається він як похідна радіус-вектора, взята за часом.

Друга величина - сила

Вона визначає міру інтенсивності впливу, який опиняється на тіло з боку інших тіл або полів. Оскільки сила - векторна величина, то вона обов'язково має своє значення за модулем і напрямком. Оскільки вона діє на тіло, то важливим є ще й точка, до якої докладена сила. Щоб отримати наочне уявлення про вектори сил, можна звернутися до наступної таблиці.

Також ще векторною величиною є рівнодіюча сила. Вона визначається як сума всіх діючих на тіло механічних сил. Для її визначення необхідно виконати додавання за принципом правила трикутника. Тільки відкладати вектори потрібно по черзі від кінця попереднього. Результатом виявиться той, який з'єднує початок першого з кінцем останнього.

Третя величина - пересування

Під час руху тіло описує деяку лінію. Вона називається траєкторією. Ця лінія може бути абсолютно різною. Важливіше виявляється не її зовнішній вигляд, а точки початку і кінця руху. Вони з'єднуються відрізком, який називається переміщенням. Це теж векторна величина. Причому воно завжди спрямоване від початку переміщення до точки, де рух було припинено. Позначати його прийнято латинською буквою r.

Тут може з'явитися таке питання: «Шлях - векторна величина?». У загальному випадку це твердження не є вірним. Шлях дорівнює довжині траєкторії і не має певного напрямку. Винятком вважається ситуація, коли розглядається прямолінійний рух в одному напрямку. Тоді модуль вектора переміщення збігається за значенням з шляхом, і напрямок у них виявляється однаковим. Тому при розгляді руху вздовж прямої без зміни напрямку переміщення шлях можна включити в приклади векторних величин.

Четверта величина - прискорення

Воно є характеристикою швидкості зміни швидкості. Причому прискорення може мати як позитивне, так і від'ємне значення. При прямолінійному русі воно спрямоване в бік більшої швидкості. Якщо переміщення відбувається криволінійною траєкторією, вектор його прискорення розкладається на дві складові, одна з яких спрямована до центру кривизни по радіусу.

Виділяють середнє і миттєве значення прискорення. Перше слід розраховувати як відношення зміни швидкості за деякий проміжок часу до цього часу. При прагненні розглянутого інтервалу часу до нуля говорять про миттєве прискорення.

П'ята величина - імпульс

По-іншому його ще називають кількістю руху. Імпульс векторною величиною є через те, що безпосередньо пов'язаний зі швидкістю і силою, доданою до тіла. Обидві вони мають напрямок і задають його імпульсу.

За визначенням останній дорівнює виробленню маси тіла на швидкість. Використовуючи поняття імпульсу тіла, можна по-іншому записати відомий закон Ньютона. Виходить, що зміна імпульсу дорівнює твору сили на проміжок часу.

У фізиці важливу роль має закон збереження імпульсу, який стверджує, що в замкненій системі тіл її сумарний імпульс є постійним.

Ми дуже коротко перерахували, які величини (векторні) вивчаються в курсі фізики.

Завдання про неупругий удар

Умова. На рейках стоїть нерухома платформа. До неї наближається вагон зі швидкістю 4 м/с. Маси платформи і вагона - 10 і 40 тонн відповідно. Вагон вдаряється об платформу, відбувається автосцеп. Необхідно вирахувати швидкість системи «» вагон-платформа «» після удару.

Рішення. Спочатку потрібно ввести позначення: швидкість вагона до удару - v₁, вагона з платформою після зчеплення - v, маса вагона m₁, платформи - m₂. За умовою завдання необхідно дізнатися значення швидкості v.

Правила вирішення подібних завдань потребують схематичного зображення системи до і після взаємодії. Вісь ОX розумно направити вздовж рейок в той бік, куди рухається вагон.

У цих умовах систему вагонів можна вважати замкнутою. Це визначається тим, що зовнішніми силами можна знехтувати. Сила тяжкості і реакція опори врівноважені, а тертя об рейки не враховується.

Відповідно до закону збереження імпульсу, їх векторна сума до взаємодії вагона і платформи дорівнює загальному для зчеплення після удару. Спочатку платформа не рухалася, тому її імпульс дорівнював нулю. Переміщався тільки вагон, його імпульс - твір m₁ і v₁.

Так як удар був неупругий, тобто вагон зчепився з платформою, і далі він стали котитися разом в той же бік, то імпульс системи не змінив напрямку. Але його значення стало іншим. А саме виробленням суми маси вагона з платформою і шуканої швидкості.

Можна записати таку рівність: m₁ * v₁ = (m₁ + m₂) * v. Воно буде правильним для проекції векторів імпульсів на вибрану вісь. З нього легко вивести рівність, яка буде потрібна для обчислення шуканої швидкості: v = m₁ * v₁ / (m₁ + m₂).

За правилами слід перевести значення для маси з тонн у кілограми. Тому при підстановці їх у формулу слід спочатку помножити відомі величини на тисячу. Прості розрахунки дають число 0,75 м/с.

Відповідь. Швидкість вагона з платформою дорівнює 0,75 м/с.

Завдання з поділом тіла на частини

Умова. Швидкість літаючої гранати 20 м/с. Вона розривається на два осколки. Маса першого 1,8 кг. Він продовжує рухатися в напрямку, в якому летіла граната, зі швидкістю 50 м/с. Другий осколок має масу 1,2 кг. Яка його швидкість?

Рішення. Нехай маси осколків позначені літерами m₁ і m₂. Їх швидкості відповідно будуть v₁ і v₂. Початкова швидкість гранати - v. У завданні потрібно обчислити значення v₂.

Для того щоб більший осколок продовжував рухатися в тому ж напрямку, що і вся граната, другий повинен полетіти в зворотний бік. Якщо вибрати за напрямок осі те, яке було у початкового імпульсу, то після розриву великий осколок летить по осі, а маленький - проти осі.

У цьому завданні дозволено користуватися законом збереження імпульсу через те, що розрив гранати відбувається миттєво. Тому, незважаючи на те що на гранату і її частини діє сила тяжкості, вона не встигає подіяти і змінити напрямок вектора імпульсу з його значенням за модулем.

Сума векторних величин імпульсу після розриву гранати дорівнює тому, який був до нього. Якщо записати закон збереження імпульсу тіла в проекції на вісь OX, то він буде виглядати так: (m₁ + m₂) * v = m₁ * v₁ — m₂ * v₂. З нього просто висловити шукану швидкість. Вона визначиться за формулою: v₂ = ((m₁ + m₂) * v — m₁ * v₁) / m₂. Після підстановки числових значень і розрахунків виходить 25 м/с.

Відповідь. Швидкість маленького осколка дорівнює 25 м/с.

Завдання про постріл під кутом

Умова. На платформі масою M встановлено знаряддя. З нього проводиться постріл снарядом масою m. Він вилітає під кутом в горизонті зі швидкістю v (даної відносно землі). Потрібно дізнатися значення швидкості платформи після пострілу.

Рішення. У цьому завданні можна використовувати закон збереження імпульсу в проекції на вісь OX. Але тільки в тому випадку, коли проекції зовнішніх рівнодіючих сил дорівнюють нулю.

За напрямок осі OX потрібно вибрати ту сторону, куди полетить снаряд, і паралельно горизонтальній лінії. У цьому випадку проекції сил тяжкості і реакції опори на ОX будуть рівні нулю.

Завдання буде вирішено в загальному вигляді, оскільки немає конкретних даних для відомих величин. Відповіддю в ній є формула.

Імпульс системи до пострілу дорівнював нулю, оскільки платформа і снаряд були нерухомі. Нехай швидкість платформи буде позначена латинською буквою u. Тоді її імпульс після пострілу визначиться як витвір маси на проекцію швидкості. Оскільки платформа відкотиться назад (проти напрямку осі OX), то значення імпульсу буде зі знаком мінус.

Імпульс снаряда - витвір його маси на проекцію швидкості на вісь OX. Через те, що швидкість спрямована під кутом до горизонту, її проекція дорівнює швидкості, помноженій на косинус куті. У буквеній рівності це виглядатиме так: 0 = - Mu + mv * cos α. З неї шляхом нескладних перетворень виходить формула-відповідь: u = (mv * cos α) / M.

Відповідь. Швидкість платформи визначається за формулою u = (mv * cos ^ )/M.

Завдання про переправу через річку

Умова. Ширина річки по всій її довжині однакова і дорівнює l, її береги паралельні. Відома швидкість течії води в річці v₁ і власна швидкість катера v₂. 1). При переправі ніс катера спрямований строго до протилежного берега. На яку відстань s його знесе вниз за течією? 2). Під яким кутом перейшов потрібно направити ніс катера, щоб він досяг протилежного берега строго перпендикулярно до точки відправлення? Скільки часу потрібно на таку переправу?

Рішення. 1). Повна швидкість катера є векторною сумою двох величин. Перша з них течія річки, яка спрямована вздовж берегів. Друга - власна швидкість катера, перпендикулярна берегам. На чортежі виходить два подібних трикутника. Перший утворений шириною річки і відстанню, на яку зносить катер. Другий - векторами швидкостей.

З них випливає такий запис: s / l = v₁ / v₂. Після перетворення виходить формула для шуканої величини: s = l * (v₁ / v₂).

2). У цьому варіанті завдання вектор повної швидкості перпендикулярний берегам. Він дорівнює векторній сумі v₁ і v₂. Синус кута, на який повинен відхилятися вектор власної швидкості, дорівнює відношенню додатків v₁ і v₂. Для розрахунку часу руху потрібно розділити ширину річки на пораховану повну швидкість. Значення останньої обчислюється за теоремою Піфагора.

v = ^ (_v²2 - _v¹2), тоді t = l/( ^ (_v²2 - _v¹2).

Відповідь. 1). s = l * (v₁ / v₂), 2). sin α = v₁ / v₂, t = l / (√(v₂² – v₁²)).