Підрахуйте, яке потомство дасть пара тварин до початку наступного року.
Леонардо Фібоначчі був видатним середньовічним математиком. Вважається, що саме він ввів у ужиток арабські цифри. У «Книзі абака» - праці, що викладає і пропагує десяткову арифметику, - Фібоначчі наводить своє знамените завдання про кроликів. Спробуйте її вирішити.
На початку січня пару новонароджених кроликів (самця і самку) помістили в загінчик, обгороджений з усіх боків. Скільки пар кроликів вони зроблять до початку наступного року? Необхідно врахувати такі умови:
- Кролики досягають статевої зрілості через два місяці після свого народження, тобто до початку третього місяця життя.
- На початку кожного місяця кожна статева пара дає життя тільки одній парі.
- Тварини завжди народжуються парами «одна самка + один самець».
- Кролики безсмертні, їх не можуть з'їсти хижаки.
Давайте подивимося, як зростає кількість кроликів у перші півроку:
Місяць 1. Одна пара молодих кроликів.
Місяць 2. Як і раніше одна вихідна пара. Кролики ще не досягли дітородного віку.
Місяць 3. Дві пари: вихідна, яка досягла дітородного віку + пара молодих кроликів, яких вона породила.
Місяць 4. Три пари: одна вихідна пара + одна пара кроликів, яку вона породила на початку місяця + одна пара кроликів, які з'явилися на світ в третьому місяці, але ще не досягли статевої зрілості.
Місяць 5. П'ять пар: одна вихідна пара + одна пара, яка народилася в третьому місяці і досягла дітородного віку + дві нові пари, яким вони дали життя + одна пара, яка з'явилася на світ в четвертому місяці, але поки не досягла зрілості.
Місяць 6. Вісім пар: п'ять пар, що жили минулого місяця + три новонароджені пари. І так далі.
Щоб було зрозуміліше, запишемо отримані дані в таблицю:
Якщо уважно розглянути таблицю, можна виявити наступну закономірність. Кожного разу кількість кроликів, наявних у n ‑ му місяці, дорівнює числу кроликів у (n ‑ 1) -му, попередньому місяці, підсумованому з числом щойно народжених кроликів. Їх кількість, у свою чергу, дорівнює загальній кількості тварин станом на (n ‑ 2) -й місяць (який був два місяці тому). Звідси можна вивести формулу:
Fn = Fn‑1+ Fn‑2,
де Fn - загальна кількість пар кроликів у n ‑ й місяць, Fn ‑ 1 - загальна кількість пар кроликів у попередній місяць, а Fn ‑ 2 - загальна кількість пар кроликів два місяці тому.
Підрахуємо за нею кількість тварин у наступні місяці:
Місяць 7. 8 + 5 = 13.
Місяць 8. 13 + 8 = 21.
Місяць 9. 21 + 13 = 34.
Місяць 10. 34 + 21 = 55.
Місяць 11. 55 + 34 = 89.
Місяць 12. 89 + 55 = 144.
Місяць 13 (початок наступного року). 144 + 89 = 233.
На початку 13-го місяця, тобто в кінці року, у нас буде 233 пари кроликів. З них 144 пари будуть дорослими, а 89 - молодими. Отримана послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 називається числами Фібоначчі. У ній кожне нове підсумкове число дорівнює сумі двох попередніх.
Показати відповідь
Сховати відповідь
