Як вирішити завдання C2 з ЄДІ з математики (куб, кут між прямими)
Хочете навчитися вирішувати завдання C2 з ЄДІ з математики? Ця інструкція для Вас!
Зараз ми навчимося вирішувати завдання на знаходження кута між двома прямими в кубі, використовуючи для цього координатно-векторний метод.
Інструкція
Рівень складності: Нескладно
Що вам знадобиться:
- знання основних понять стереометрії і тригонометрії
- акуратність у обчисленнях
1 крок
Завдання:
Дан куб ABCDA1B1C1D1, де E - середина DD1 і потрібно знайти кут між A1E і AC. Зробимо малюнок, запишемо «дано» і «знайти».
2 крок
Приступимо до самого рішення. Перший крок - введення системи координат. Я раджу вводити її так, щоб найбільше число точок мало хоча б одну координату, рівну нулю. Втім, ніхто не забороняє вводити її саме так, як зручно Вам - головне, щоб Ви могли правильно порахувати координати точок.
3 крок
У даному завданні я зроблю початком координат точку A, вісь Оx направлю по горизонтальному ребру куба AD, вісь Oy - перпендикулярно їй по ребру AB, а вісь Oz - перпендикулярно площині основи - по ребру AA1. За одиничний відрізок приймемо ребро куба. Цей крок слід відобразити в рішенні (приблизно як на картинці).
4 крок
Для знаходження кута між прямими, нам слід знайти координати напрямних векторів для даних прямих (для чого, в свою чергу потрібно знайти координати їх кінців). Знаходимо координати точок A1;E;A;C. Для точок A і A1 це просто - оскільки A це початок координат, її координати будуть рівними (0; 0; 0). A1 це крапка A, зрушена вгору на довжину ребра, тому вона має координати (0; 0; 1). Для C: опускаємо перпендикуляри на осі Ox (CD), Oy (AB) і знаходимо їх довжини (по одиниці). Апліката (координата по осі Z) дорівнює нулю, оскільки точка лежить на нижній підставі. Для точки E: E - це середина відрізка DD1, отже ми можемо знайти її координати, склавши відповідні координати точок D і D1 і розділивши на два. D - точка A, зрушена по осі Ox на ребро куба, тому вона має координати (1; 0; 0). D1 (аналогічно до A і A1) має координати (1; 0; 1). E має координати (1; 0; 0.5). Не забудьте відобразити всі ці кроки в рішенні!
5 крок
Знайдемо координати векторів A1E і AC. Для цього нам потрібно для кожного вектора з відповідних координат кінця відняти координати початку. Таким чином, AC має координати {1; 1; 0}, а A1E має координати {1; 0; -0.5}.
6 крок
І, нарешті, останній крок - знаходження кута. Слід запам'ятати формулу для знаходження косинуса кута між двома векторами (на малюнку). Робимо необхідні обчислення і приходимо до відповіді.
7 крок
Ось і все! Залишилося лише записати відповідь. Уважно стежте, що саме потрібно було знайти в завданні - кут, його косинус, синус або тангенс. Якщо кут - у відповіді потрібно написати arccos і те, що вийшло в попередньому кроці. Знаючи косинус, синус і тангенс можна знайти за формулами на картинці.
Поради та попередження:
- Координати точок пишуться в круглих дужках, а координати векторів - у фігурних
- Над векторами пишеться стрілка
- Отриманий косинус завжди повинен бути менше або дорівнює одиниці
