Є 12 монет, серед них одна підроблена. Допоможіть математиці виявити її всього за три зважування.
За критику податкової системи імператор заточив у темницю найбільшого математика країни. Але одного дня бранцю представився шанс знову здобути свободу. Один з 12 намісників імператора сплатив податок фальшивою монетою, яка вже потрапила в казну. Імператор пообіцяв звільнити математика, якщо той зуміє знайти підробку.
Перед бранцем поставили стіл, на якому були чашкові ваги, олівець і 12 однакових на вигляд монет. А потім сказали, що фальшивка відрізняється від інших грошей за вагою в більшу або меншу сторону. Зважити монети дозволили лише тричі. Як математику обчислити підробку?
У математика всього три спроби, тому зважувати кожну монету окремо не можна. Потрібно розділити їх на купки і класти на ваги по кілька штук за раз, поступово підбираючись до фальшивої.
Припустимо, математик вирішив розділити 12 монет на три купки по чотири монети в кожній. Потім він поклав на кожну чашу терезів по чотири монети. Таке зважування може дати два результати. Розгляньмо кожен з них.
1. Вага двох купок з монетами виявилася однаковою. Отже, всі гроші в них справжні, а підробка лежить десь серед чотирьох невиважених монет.
Щоб відстежувати результат, математик позначає ноликом всі справжники. Потім бере три з них і порівнює з трьома невиваженими монетами. Якщо їх вага дорівнює, то залишилася (четверта) невиважена монета фальшива. Якщо вага відрізняється, то математик ставить на трьох непомічених монетах плюс, якщо вони важче тих, що з ноликами, або мінус, якщо вони легше.
Потім він бере дві монети, позначені плюсом або мінусом, і порівнює їх вагу. Якщо він однаковий, то екземпляр, що залишився, - підробка. Якщо ні, математик дивиться на знаки: серед монет з плюсом фальшивою буде та, що важче, серед монет з мінусом - та, що легше.
2. Вага двох купок з монетами виявилася неоднаковою.
У цьому випадку математику потрібно діяти так: позначити гроші в важкій купці плюсом, в легкій - мінусом, в невиваженій - ноликом, так як відомо, що фальшивий екземпляр був на вагах.
Тепер потрібно перегрупувати монети, щоб вкластися в два виважування, що залишилися. Один із способів - взяти замість трьох монет з плюсом три монети з мінусом, а на їх місце покласти три штуки з ноликом.
Далі слід три можливих варіанти. Якщо та чаша терезів, яка була важчою, все ще переважує, значить, або стара монета зі знаком плюс на ній важче інших, або монета, що залишилася на іншій чаші терезів, зі знаком мінус - легше. Математику потрібно вибрати будь-яку з них і порівняти зі звичайним зразком, щоб знайти фальшивку.
Якщо ж та чаша терезів, яка була важчою, стала легшою, значить, одна з трьох переміщених математиком монет зі знаком мінус і є найлегша. Тепер йому потрібно порівняти на вагах дві з них. При рівності результатів третя монета буде підробленою. При нерівності - фальшива та, що легше.
Якщо після заміни чаші врівноважилися, одна з трьох знятих з терезів монет зі знаком плюс важче інших. Математику потрібно порівняти дві з них. За їхньої рівності третя - підроблена. За нерівності несправжня та, що важча.
Імператор схвально киває, вислуховуючи міркування математика, а нечесний намісник відправляється в темницю.
Ця загадка - переклад відео TED ‑ Ed.
Показати відповідь
Сховати відповідь
