Краса і математика: 13 фантастичних чисел, які нас оточують

Краса і математика: 13 фантастичних чисел, які нас оточують

Про числа і математичні терміни, які будуть цікаві не тільки математикам.


Нерідко числа знаходяться за допомогою красивих рівнянь і формул. А ще вони можуть володіти математичною красою. Це означає, що їхні властивості ведуть до непередбачуваного результату - привабливого як візуально, так і інтелектуально.

Нижче ми обговоримо 13 дивовижних чисел і понять, від нескінченності до золотого перерізу, які доводять, що математика - теж свого роду мистецтво.

13. Алеф-нуль ℵ0

Алеф-нуль - це найменше нескінченне кардинальне число. Можливо, ви подумаєте: як же так? Адже нескінченність - це всього лише поняття, а не безліч нескінченних чисел. Зрештою, якщо і існує нескінченність, яка більше іншої нескінченності, то перша - вже безмежно не нескінченність.

Зараз розберемося. Припустимо, у нас є базове уявлення про те, що таке нескінченність (див. пункт 12). Алеф-нуль - це безліч натуральних чисел (0, 1, 2, 3 тощо). Це поняття (або число) велике за розміром і, загалом, нескінченно.

Що, якщо ми перерахуємо всі натуральні числа два або три рази? Після завершення першої безлічі ми отримаємо числа, що виходять за рамки натуральних чисел за порядком. Отже, нам знадобиться порядок чисел або порядковий номер. Наступне число після Алеф-нуль - це омега. Потім йде. + 1. Ці два останніх числа - не кардинальні числа, а порядкові (ординали): тобто вони показують розташування елементів відносно горизонтальної осі. Графік нижче - їх спрощена вистава.

Кожне безліч чисел може представляти набір безліч натуральних чисел з потужністю ℵ0. Якщо додати до першої безлічі одиницю - це не змінить кількість елементів (ви навіть можете просто змінити порядок, і у вас все одно залишиться потужність Алеф-нуль).

Це дозволяє розглядати їх як порядкові величини (ординали). Отже, перше порядкове трансфінітне число після набору - це те, що ми обговорювали вище - омега «­». Цікаво і те, що число - + 1 необов'язково більше - воно просто йде після нього.

Так, можливо, це занадто для миттєвого розуміння. Це те, про що слід розмірковувати і до чого слід повертатися. Тому нижче ми розписали все, що вам потрібно знати:

  • Нескінченність і Алеф-нуль - дві різні речі. Перше - це просто ідея крайньої межі, що лежить на числовій осі, а друге - розмір безлічі (його потужність).
  • Кардинальне число - це потужність безлічі, його розмір з точки зору кількості елементів (1, 2, 459, 1002 тощо). У той час як ординал або порядкове число - це порядковий тип безлічі (1-й, 2-й, 66-й і т. д.).
  • Подібно до нескінченних кардиналів, існують і нескінченні ординали. І перше нескінченне (незліченне) порядкове число - це омега ­. Його ми обговорювали трохи вище.
  • Дотримуючись цієї логіки, Алеф-один є потужністю омеги.

А Алеф-нуль - всього лише перший кардинал з величезної безлічі інших «Алефів».

12. Нескінченність

Це швидше ідея або концепція, ніж число. Цей символ часто називають лемніскатою. Перш ніж обговорювати характеристики і цікаві факти про нескінченність, важливо зазначити, що число порожніх (див. пункт 4) вважається однією з її форм. Звичайно, під цим ми передбачаємо діапазон чисел після коми в 3,14159... Ось чому нескінченність - це поняття, а не те, що можна висловити кількісно. Інший приклад: прекрасне поле фракталів. Візьмемо, наприклад, просту сніжинку Коха, яку можна розділити на нескінченно малі «пластівці» однакової форми.

Зліва направо: Пентагон, Октагон, Декагон.

  • Пентагон = 108 = 1 + 0 + 8 = 9//72 = 7 + 2 = 9
  • Восьмикутник = 135 = 1 + 3 + 5 = 9//45 = 4 + 5 = 9
  • Десятикутник = 144 = 1 + 4 + 4 = 9//36 = 3 + 6 = 9

Відволікемося від геометрії. Якщо скласти цифри, які передують дев'яти, то отримаємо 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. І знову: 3 + 6 = 9

Якщо помножити цифри, що передують 9, на дев'ять і скласти їх елементи, сума буде завжди дорівнює 9. А ось і приклади:

  • 9 х 1 = 9
  • 9 х 3 = 27 = 2 + 7 = 9
  • 9 х 7 = 63 = 6 + 3 = 9
  • 9 х 9 = 81 = 8 + 1 = 9

Розділивши цифри на 9, ми завжди отримаємо одну і ту ж цифру, що повторюється до нескінченності:

  • 1/9 = 0,11111
  • 3/9 = 0,33333
  • 7/9 = 0,77777

8. Число 73

Якщо ви фанат «Теорії Великого вибуху», то, мабуть, ви пам'ятаєте, як Шелдон Купер пояснював, чому 73 - ідеальне число:

"Найдивовижніше число - 73. Ви, швидше за все, втрачаєтеся в здогадках чому. 73 - це 21-е просте число. Його дзеркальне відображення 37 є 12-им, чиє відображення 21 є результатом множення, не впадіть, 7 і 3 ".

"У двійковій системі 73 - ще паліндром. 1001001, що справа наліво читається, як 100100 ".

Всі ці цитати - з 10 серії 4-го сезону серіалу, яка, за певним збігом обставин, ялвляється 73-м епізодом серіалу (а ще роком народження Джима Парсонса, актора, який зіграв Шелдона).

7. Число Ейлера

Назване на честь Леонарда Ейлера, e - ірраціональне число і заснування натуральних логарифмів. Цікаво, що число Ейлера відомо з точністю до 1 трильйона цифр. А знайти його можна за допомогою цієї формули:

Коли n наближається до нескінченності, ми отримуємо більш ясне уявлення про значення e. Коли n = 100000, e = 2,71827.

Ще одна дивовижна властивість e - його нахил є його ж значенням. Воно також використовується у фінансах для розрахунку складних відсотків.

6. Послідовність Фібоначчі

Леонардо Боначчі, також відомий як Фібоначчі (це прізвисько, що означає «син Боначчі»), створив одну з найбільш захоплюючих послідовностей у нашому всесвіті. І для цього він використовував прості методи додавання, спостерігаючи за популяціями кроликів.

Незважаючи на те, що є кілька свідчень, які говорять про те, що індійські математики вивели послідовність набагато раніше, пропонуємо дотримуватися широко визнаного факту, що її автор - Фібоначчі.

Отримати числа Фібоначчі можна за допомогою простої формули для n > 2:

Так, ми отримуємо послідовність, яка йде в нескінченність:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,….

Її принада в тому, що вона пов'язана з природою. Наприклад, її можна виявити в цвітінні артишока і деяких кольорів на зразок ромашок.

А як щодо Галактики? Гері Б. Мейснер висунув цікаве і фактично обґрунтоване припущення, згідно з яким розміри Землі і Місяця знаходяться у співвідношенні Фі, утворюючи Трикутник, заснований на 1,618.

Але що таке Фі, і що за 1,618?

Якщо взяти два будь-яких послідовних числа в послідовності, їх відношення (Xn/ Xn-1) наблизиться до 1,618. Це число називається Фі - на честь давньогрецького скульптора і архітектора Фідія - або «золотим числом»:

3 : 2 = 1,5

13 : 8 = 1,666

55: 34 = 1,61764

233 : 144 = 1,61805

317 811 : 196 418 = 1,61803

Прагнучи до нескінченності, значення відносин наближаються до 1,618.

5. Число 23

Напевно, багато хто бачив фільм «Фатальне число 23», в якому Джим Керрі грає Уолтера Спероу - людину, яка стає одержимим числом 23, після того як читає про нього в книзі. Вважається, що це число таємничим чином збігається з багатьма подіями по всьому світу, і, хоча це можна назвати наочним прикладом Апофенії, все-таки цікаво перерахувати деякі «випадковості»:

  • Трагічні події 11 вересня можна підсумувати до 23, якщо записати повну дату наступним чином: 9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23.
  • Згідно з парадоксом дня народження, 23 - це найменша кількість випадково обраних людей, необхідна для отримання як мінімум 50% ймовірності, що в кімнаті будуть хоча б дві людини з одним днем. Цікавості заради: якщо в кімнаті будуть 70 осіб, цей шанс збільшиться до 99,99%.
  • Вільям Шекспір народився 23 квітня і 23 квітня помер. Звичайно, точна дата його народження невідома (він хрестився 26-го числа), але широко поширена думка, що цей день - саме 23 квітня.
  • Титанік затонув 15 квітня 1912 року. Якщо скласти всі числа в даті (включаючи місяць), то ми отримаємо: 1 + 5 + 4 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23. Звичайно, це починає нагадувати штучний пошук закономірностей, тому що ми самі вибираємо дати, які вдало складаються, і відсіюємо ті, що не підсумовуються так, як треба.
  • Кут нахилу земної осі дорівнює 23,5 °. Нехай вас не бентежить 5: ми можемо уявити число у вигляді суми 2 + 3, адже так цікавіше.
  • Послання Аресібо складається з 1679 біт, розбитих на 73 рядки по 23 символи. Звичайно, воно придумане людьми, але все ж. Послання Аресібо - це радіосигнал, який був відправлений з Землі в космос у пошуках розумного життя.
  • У людини 23 пари хромосом.
  • Сума перших 23 простих чисел дорівнює 874, що ділиться на 23. Дякую, Вікіпедія.
  • Бомба на Хіросіму була скинута в 8:15. 8 + 15 = Трагічна подія, що забрала тисячі життів. А ще 8 + 15 = 23.
  • 23 - найменше просте число, яке складається з послідовних цифр.
  • У лицарів-тамплієрів було 23 гросмейстера.
  • У середньому людська кров циркулює по всьому тілу кожні 23 секунди.

4. Пі (^) і Тау (^)

Відоме ірраціональне число, що представляє відношення довжини кола до її радіусу. Складно знайти людину, яка ніколи його не бачила.

Якщо ми намалюємо коло діаметром 1, тоді довжина кола дорівнюватиме 3,14159... що просто позначається літерою. Це довжина кола по діаметру.

А тепер до цікавих властивостей:

  • Його цифри йдуть до нескінченності у випадковому порядку, без будь-яких закономірностей і паткестів.
  • 3,14 - це приблизно 22/7. Чому приблизно? Число порожніх не можна уявити у вигляді звичайного дробу, тому що воно ірраціональне.

А причому тут Тау? Деякі математики сперечаються над «корисністю» і пропонують використовувати замість нього тау, яке дорівнює 2º. За їхніми словами, воно краще підходить для обчислення кіл. Якщо вникнути в деталі, інтуїція їх не підводить. Але хіба можна не любити?

До речі, щорічно 14 березня відзначається день числа Пі (дата в США пишеться у вигляді MM/DD - виходить, 3/14).

3. Тотожність Ейлера

А ось і головна причина, через яку в заголовку статті фігурує слово «краса». Поєднання найкрасивіших математичних концепцій зазвичай дає прості результати. Але для початку згадаємо, про які концепції йдеться і як ми збираємося їх об'єднати:

Число Ейлера e

Уявна одиниця

Число порожніх

Дивно, але разом всі три утворюють рівняння, яке дає простий результат -1:

Але як це вийшло?

Як ми вже говорили, і в ступені 2 = -1. Леонард Ейлер застосував до i ряд Тейлора (розкладання функції в нескінченну суму ступеневих функцій) і вивів наступне рівняння (опустимо деталі, адже вони виходять далеко за рамки цієї статті):

Якщо перемістити наведену вище формулу Ейлера на комплексну площину (з справжніми і уявними числами), ми отримаємо коло. Включивши в рівняння радіус r, ми зможемо перетворити точки в іншу форму, наприклад, звівши re на ступінь ix.

Якщо ми припустимо, що x = ^, то отримаємо наступне:

Знаючи, що cos - = -1 і sin - = 0 - i праворуч зникне:

Ми можемо знову змінити це рівняння, щоб зробити його більш красивим, і додати ще одне просте число:

2. Число 6174

Це число, також відоме як Постійна Капрекара, має відмінну особливість. Ви зрозумієте, яку, коли виконаєте наступні кроки:

  1. Візьміть будь-яке чотиризначне число (мінімум дві цифри в ньому повинні відрізнятися).
  2. Розташуйте цифри в порядку убування і зростання - ви повинні отримати два нових чотиризначних числа.
  3. Тепер вирахуйте менше число з більшого.
  4. Повторіть крок 2.

Якщо ви будете повторювати ці кроки, ви завжди будете отримувати 6174 - і це справжня загадка.

Чому завжди виходить 6174, незалежно від того, з яких чисел ви почнете? Давайте розберемося.

Візьмемо, наприклад, 2714:

  • 7421 - 1247 = 6174

Або 3687:

  • 8763 - 3678 = 5085;
  • 8550 - 0558 = 7992;
  • 9972- 2799 = 7173;
  • 7731 - 1377 = 6354;
  • 6543 - 3456 = 3087;
  • 8730 - 0378 = 8352;
  • 8532 - 2358 = 6174

Тепер, коли ми отримали 6174, ми більше не зрушимо з цієї точки. Тому що 7641-1467 = 6174.

А ще 6174 - число Харшада. Це означає, що воно ділиться на суму його складових: 6174 / (6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.

Круто!

1. Золотий переріз

Мабуть, це найважливіше співвідношення в світі. Нагадуємо: його вивели греки. А ось список його основних характеристик:

  • Його зворотне значення 0,618 дорівнює 1 + 0,618. Отже, 1/ ϕ ^ 1 + ϕ
  • Золотий переріз зустрічається в дикій природі. І деякі дерева - тому підтвердження. Головний стовбур пускає гілку. На наступний рік він відпочиває, а через рік пускає ще одну гілку. Виходить, спочатку є головний стовбур, через рік - дві гілки, ще через рік - три, потім п'ять, вісім, тринадцять. Враховуючи старі і нові гілки, виходить число Фібоначчі.
  • Вважається, що золотий переріз уособлює красу. І хоча це переконання не доведено, ми думаємо, цікаво дізнатися, як людина взагалі розпізнає красу. Наприклад, обличчя. Існує 10-бальна шкала, згідно з якою 10 - найкрасивіша людина. За цією шкалою, особи більшості людей оцінюються від 4 до 6. Щоб отримати результат, необхідно виміряти довжину і ширину обличчя. Оптимальне значення дорівнює 1,618. Це означає, що довжина обличчя красивої людини повинна бути на 1,618 більше її ширини. Пізніше обчислюються й інші співвідношення: нижня частина носа і нижня частина підборіддя. Нарешті, для більш точного результату проводяться тести симетрії. За словами автора шкали, доктора Шміда, крім відповідності інших характеристик, довжина вуха на ідеальному обличчі повинна бути рівна довжині носа.
  • Вважається, що співвідношення між середнім пальцем і мізинцем теж дорівнює числу золотого перерізу (ϕ).
  • Золотий переріз присутній і в геометрії. З його урахуванням виконано багато будівель і творів мистецтва. Яскравий приклад: давньогрецький Парфенон.
  • Ще один приклад золотого перерізу - пентаграма.

Бонус

Насправді найбільше число з існуючих - 40. А ось і доказ:

Image

Publish modules to the "offcanvas" position.