Better Explained: Як зрозуміти нуль нульовою мірою?

У школі нас вчать, що ступінь - це багаторазове множення. Це прекрасно, але стає зовсім незрозумілим, коли ми зустрічаємо 3 1,5 або 0 0.

Як ми можемо повторити нуль нульову кількість разів і отримати одиницю? Вся справа в тому, що наш підхід до ступеня числа як до багаторазового множення невірний. Нам потрібно змінити парадигму. Давайте подивимося, як ми звикли сприймати арифметичні дії, і що вони насправді з себе представляють.

Додавання

Як ми звикли думати: це рахунок, що повторюється

Як насправді: пересування

Множення

Як ми звикли думати: це багаторазове додавання

Як насправді: масштабування

Ступінь

Як ми звикли думати: багаторазове множення

Як насправді: зростання з плином часу

Дивіться на арифметику як на перетворення

Відійдемо на крок назад. Як ми вивчаємо арифметику? Нас вчать, що числа - це якась кількість одиниць; додавання - це додавання однієї кількості одиниць до іншої кількості одиниць (3 + 4 = 7), а множення - це багаторазове додавання (2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6).

Багаторазове додавання чудово працює з круглими числами, але що ви скажете про складання чисел на кшталт -1 або 2 ­?

Очевидно, що ця модель сприйняття неповноцінна. Числа - це не просто одиниці чогось; набагато краще уявляти їх як якісь точки з певним положенням на лінії. Місце може бути негативним (-1) або між іншими числами (2 ^), або в іншому вимірі (i).

Таким чином арифметика постає перед нами як спосіб перетворювати число. Додавання стає переміщенням (+ 3 - це переміщення на 3 одиниці праворуч); множення стає масштабуванням (* 3 - це збільшити число втричі).

А що ж таке тоді ступінь числа?

Познайомтеся з Екпандотроном

Це Експандотрон 3000. Він виглядає як досить потрепана мікрохвильовка, але замість підігріву їжі вона займається зростанням чисел. Просто покладіть число всередину і виконайте кілька простих операцій.

• Почніть з 1
• Встановіть бажаний показник «Росту» за одну секунду (2х, 3х, 10,3х тощо)
• Встановіть бажаний показник «Часу» в секундах
• Натисніть кнопку START

Вуаля. Після звукового сигналу дістаємо наше новеньке готове число. Наприклад, ми хочемо змінити 1 на 9. Що нам потрібно зробити?

• Помістіть 1 в Експандотрон
• Встановіть «Ріст» на 3х, а «Час» на 2 секунди
• Натисніть кнопку START

Що ми бачимо? Ми бачимо, як число починає перетворюватися: 1; 1,1; 1,2... Після закінчення першої секунди воно вже виглядає як 3 і продовжує змінюватися: 3,1; 3,5; 4,0; 6,0; 7,5... І після закінчення другої секунди воно перетворилося на 9.

У математичній виставі Експандотрон (або показова функція) робить для нас наступне:

або

Наприклад, 3² = 9/1. Підставою є та кількість разів, в яку нам потрібно виростити число (х3), а ступенем - кількість часу (2). Формула типу 2ⁿ означає «Використовуйте свій Експандотрон на потужності х2 протягом n секунд».

Роботу Експандотрона ми завжди починаємо з 1, щоб подивитися, як він змінює одну одиницю. Якщо ми хочемо подивитися, що станеться з 3 в Експандотроні, ми просто масштабуємо кінцевий результат. Наприклад:

• Почніть з 1 і помножте на двійку третьою мірою: 1*2³ = 1 * 2 * 2 * 2 = 8
• Почніть з 3 і помножте на двійку третьою мірою: 3*2³ = 3 * 2 * 2 * 2 = 24

Кожного разу, коли ви бачите простий ступінь, ви починаєте з 1.

Ідемо до розуміння масштабуючого множника

При множенні ми можемо просто вказати кінцевий масштабуючий множник. Хочете число у 8 разів більше? Множимо на 8. Готово.

Ступені більш примхливі в обігу. Ось як вони працюють:

Ви: Хочу виростити ось це число.

Експандотрон: Гаразд, давай його сюди.

Ви: І наскільки великим воно стане?

Експандотрон: Пффф, без поняття. Давай подивимося.

Ви: Подивимося? Я думав, ти зна...

Експандотрон: Тихо. Воно росте! Росте!

Ви: ...

Експандотрон: Готово. Це шедевр!

Ви: Я можу йти?

Експандотрон не прямолінійний. Ви дивитеся на нього, але не знаєте, що він зробить. Що означає 3¹⁰? Ступінь числа замість простого масштабування змушує нас відчути всіма органами процес зростання.

Це може звучати дратівливо невизначено, але знаєте, що? Більшість явищ природи закінчуються невідомо чим!

Як думаєте, бактерія дійсно планує ділитися кожні 14 годин? Ні, вона просто харчується забутим вами в холодильнику хлібом і росте так швидко, як тільки може. Щоб передбачити поведінку цієї бактерії, ми можемо лише використовувати значення темпу її зростання і тривалості зростання - і тільки потім ми отримаємо кінцеве значення.

Іншими словами, ступінь числа - це такий спосіб сказати «Починаємо з таких умов, змінюємо їх і дивимося, до чого ми прийдемо». Цим і займається наш Експандотрон.

Ідемо до розуміння дробових ступенів

Чи може Експандотрон допомогти нам усвідомити ступені ще глибші? Ну, наприклад, що означає 2^1,5?

Дуже легко заплутатися, якщо ми думаємо про двійку в півторній мірі звичним способом - як про багаторазове множення. Але в Експандотроні все просто: 1,5 - це лише проведений у ньому час.

• 2¹ - це одна секунда в машині (дворазове зростання)
• 2² - це дві секунди в машині (чотириразовий зріст)

2^1,5 означає 1,5 секунди в машині, значить, це зростання виявиться десь між дворазовим і чотириразовим.

Множення ступенів

Що якщо ми захочемо прогнати два цикли зростання один за одним? Ну, наприклад, ми використовуємо машину протягом 2 секунд, а потім ще 3 секунди на тій же потужності:

x²*x³ = ?

Уявіть звичайну мікрохвильовку. Хіба це не буде самий звичайний цикл тривалістю в 5 секунд? Буде. Тут відбувається те ж саме - раз вже потужність (основа) залишається однаковою, ми просто складаємо час:

Квадратне коріння

Продовжимо. Припустимо, ми вибрали потужність і встановлюємо зростання протягом 3 секунд:

Непогано. Як буде виглядати зростання протягом половини цього часу? Логічно, що 1,5 секунди.

А якщо ми зробимо те ж саме два рази?

Дивимося на це рівняння і бачимо, що «часткове зростання» - це квадратний корінь із значення повного зростання. А якщо ми розділимо час на три частини?

А ось і кубічний корінь! Це дає нам інтуїтивне розуміння того, чому поділ ступенів дає нам коріння: ми розбиваємо час на рівні частки.

Негативні ступені

А як бути з негативними ступенями? Негативні ступені для нас означатимуть зворотний відлік у часі. Якщо рух вперед у часі призводить нас до зростання, рух назад, швидше за все, виллється у зменшення числа.

Це означає наступне: "Секунду тому у нас була половина від поточної кількості (1/2¹). Будь-який графік експоненційного зростання будується саме так.

Виберіть точку на шкалі часу, наприклад, 3,5 секунди (2^3,5 = 11,3). Через секунду ми подвоїмо нашу кількість (2^4,5 = 22,5). А секунду тому у нас була всього лише половина від поточної кількості (2^2,5 = 5,65).

Це працює з будь-яким числом!

Приходимо до нульового ступеня

Тепер найцікавіше: що означає 3⁰? А все дуже просто. Ми встановлюємо нашу мікрохвильовку на потужність х3 і використовуємо її протягом... 0 секунд. Це означає, що ми її просто не запускаємо!

Значить, масштабуючий множник дорівнює одиниці, значить, ніяких змін з нашим числом не відбувається. Нове число дорівнюватиме початковому числу, тобто (ви ж пам'ятаєте, що вихідне число у нас одиниця?) одиниці. Масштабування не відбувається.

Приходимо до нульової основи

А що ми робимо з 0^x? Що ж, наша потужність в цьому випадку буде х0, а значить, після секунди часу Експандотрон перетворює число в нуль. Раз ми вже анулювали число, абсолютно неважливо, скільки часу воно пробуде в машині - воно так і залишиться нулем.

Приходимо до нульової основи в нульовій мірі

Ось він, великий і жахливий 0⁰. І знову нас рятує Експандотрон.

0 в ступені 0 означає зростання х0 протягом 0 секунд. Хоч ми і планували анулювати число, ми так і не запустили машину. Нове число дорівнює початковому числу (тобто в наш Експандотрон ми поклали одиницю), масштабуючий множник теж дорівнює одиниці.

Звичайно, Експандотрона насправді не існує (а шкода!). Звичайно, числа насправді не шикуються в лінійку - вони всього лише один з безлічі способів поглянути на світ.

Що дає нам Експандотрон? Він допомагає нам не запинатися про здаються перешкоди на зразок 2^1,5 або 0⁰. Як тільки ми починаємо розуміти основні принципи зростання, поступово ми почнемо дружити і з формулою Ейлера.

За матеріалами чарівної статті на Better Explained.